Question

【題目】已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點.

（1）求此拋物線的表達式及頂點的坐標；

（2）若點是軸上方拋物線上的一個動點（與點不重合），過點作軸于點，交直線于點，連結.設點的橫坐標為.

①試用含的代數式表示的長；

②直線能否把分成面積之比為1：2的兩部分？若能，請求出點的坐標；若不能，請說明理由.

（3）如圖2，若點也在此拋物線上，問在軸上是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），頂點坐標為：；（2）①；②能，理由見解析，點的坐標為；（3）存在，點Q的坐標為：或.

【解析】

（1）根據待定系數法即可求出拋物線的解析式，然后把一般式轉化為頂點式即可得出拋物線的頂點坐標；

（2）①先利用待定系數法求出直線的函數表達式，再設出點D、E的坐標，然后分點D在y軸右側和y軸左側利用或列式化簡即可；

②根據題意容易判斷：點D在y軸左側時，不存在這樣的點；當點D在y軸右側時，分或兩種情況，設出E、F坐標后，列出方程求解即可；

（3）先求得點M、N的坐標，然后連接CM，過點N作NG⊥CM交CM的延長線于點G，即可判斷∠MCN=45°，則點C即為符合題意的一個點Q，所以另一種情況的點Q應為過點C、M、N的⊙H與y軸的交點，然后根據圓周角定理的推論、等腰直角三角形的性質和勾股定理即可求出CQ的長，進而可得結果.

解：（1）∵拋物線與軸交于點，

∴設拋物線的表達式為：，

把點代入并求得：，

∴拋物線的表達式為：，

即，∴拋物線的頂點坐標為：；

（2）①設直線的表達式為：，則，解得：，

∴直線的表達式為：，

設，則，

當時，∴，

當時，，

綜上：，

②由題意知：當時，不存在這樣的點；

當時，或，

∵，∴，

∴，解得（舍去），∴，

或，解得（舍去），（舍去），

綜上，直線能把分成面積之比為1：2的兩部分，且點的坐標為；

（3）∵點在拋物線上，∴，∴，

連接MC，如圖，∵C（0，6），M（1，6）∴MC⊥y軸，過點N作NG⊥CM交CM的延長線于點G，∵N（2，4），∴CG=NG=2，∴△CNG是等腰直角三角形，∴∠MCN=45°，則點C即為符合題意的一個點Q，∴另一種情況的點Q應為過點C、M、N的⊙H與y軸的交點，連接HN，

∵，∴MN=，CM=1，

∵，∴∠MHN=90°，則半徑MH=NH=，

∵∠MCQ=90°，∴MQ是直徑，且，∴，

∵OC=6，∴OQ=3，∴Q（0，3）；

綜上，在軸上存在點，使，且點Q的坐標為：或.