Question

如圖，矩形ABCD中，已知邊AB、BC 的長恰為關于x的一元二次方程x²-（m-2）x+3m=0的兩個根．動點P、Q分別從點B、C出發，其中，點P以a cm/s的速度，沿B→C的路線向點C運動；點Q以3cm/s的速度，沿C→D的路線向點D運動．若P、Q兩點同時出發，運動時間為t（s）（t＞0），且當t=2時，P、Q兩點恰好同時到達目的地．
（1）求m、a的值；
（2）是否存在這樣的t，使得△APQ的外心恰好在△APQ的某一邊上？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點Q以3cm/s的速度，沿C→D的路線向點D運動，運動時間為t=2，可得AB=CD=6，代入x²-（m-2）x+3m=0求解即可；
（2）要使△APQ的外心在△APQ的某一邊上，則△APQ為直角三角形；顯然∠PAQ不可能為直角．分別從∠APQ=90°與∠AQP=90°分析，易得相似三角形，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得t的值．

解答：解：（1）由已知得CD=6，
∴AB=6．
把x=6代入方程x²-（m-2）x+3m=0得m=16．
把m=16代入原方程，解得x₁=6，x₂=8，
∴BC=8．
∴點P的運動速度a=8÷2=4（cm/s）；

（2）要使△APQ的外心在△APQ的某一邊上，
則△APQ為直角三角形．
顯然∠PAQ不可能為直角．
若∠APQ=90°，則△ABP∽△PCQ，
∴

AB

BP

=

PC

CQ

．
即

6

4t

=

8-4t

3t

，
解得t=

7

8

．
若∠AQP=90°，同理求得t=2或t=

32

9

．
經檢驗，t=

32

9

不合題意，舍去，
∴t=2或t=

7

8

．

點評：此題考查了一元二次方程的應用，以及相似三角形的判定與性質和圓的外心的性質．解此題的關鍵要抓住不變量，還要注意利用分類討論的思想．解題時還要注意數形結合思想的應用．