Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2﹣（2a﹣）x+3的圖象經過點A（4，0），與y軸交于點B．在x軸上有一動點C（m，0）（0＜m＜4），過點C作x軸的垂線交直線AB于點E，交該二次函數圖象于點D．

（1）求a的值和直線AB的解析式；

（2）過點D作DF⊥AB于點F，設△ACE，△DEF的面積分別為S1，S2，若S1=4S2，求m的值；

（3）點H是該二次函數圖象上位于第一象限的動點，點G是線段AB上的動點，當四邊形DEGH是平行四邊形，且DEGH周長取最大值時，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣；（2）m值為；（3）點G坐標為（，）或（，）

【解析】

（1）把點A坐標代入y=ax2﹣（2a﹣）x+3可求a，用待定系數法求直線AB的解析即可；（2）用含有m的代數式表示DE、AC的長，易證△DEF∽△AEC，S1=4S2，得到DE與AE的數量關系可以構造方程，解方程即可求得m的值；

（3）如圖，過點G做GM⊥DC于點M，用含有n的代數式表示GH，由平行四邊形性質DE=GH，可得m，n之間數量關系，利用相似用GM表示EG，即可用含有m的代數式表示DEGH周長，利用函數性質求出周長最大時的m值，可得n值，進而求G點坐標．

（1）把點A（4，0）代入，得0=a42﹣（2a﹣）×4+3，

解得a=﹣，

∴函數解析式為：y=；

設直線AB解析式為y=kx+b，

把A（4，0），B（0，3）代入得，

解得；

∴直線AB解析式為：y=﹣；

（2）由已知，點D坐標為（m，﹣），點E坐標為（m，﹣），

∴AC=4﹣m，DE=（﹣）﹣（﹣）=﹣，

∵BC∥y軸，

∴，

∴AE=，

∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA，

∴△DEF∽△AEC；

∵S1=4S2，

∴AE=2DE，

∴，

解得m1=，m2=4（舍去），

故m值為；

（3）如圖，過點G做GM⊥DC于點M，

由（2）DE=﹣，同理HG=﹣；

∵四邊形DEGH是平行四邊形，

∴﹣=﹣，

整理得：（n﹣m）[]=0，

∵m≠n，

∴m+n=4，即n=4﹣m，

∴MG=n﹣m=4﹣2m

由已知△EMG∽△BOA，

∴，

∴EG=，

∴DEGH周長L=2[﹣+]=﹣，

∵a=﹣＜0，

∴m=﹣時，L最大．

∴n=4﹣=，

∴G點坐標為（，），此時點E坐標為（，），

當點G、E位置對調時，依然滿足條件，

∴點G坐標為（，）或（，）