Question

已知正方形ABCD的對角線AC、BD交于O，點O是正方形EFGO的一個頂點，若正方形ABCD的邊長為2．
（1）當OE∥AD、OG∥AB時，如圖1，求圖中兩個正方形重疊部分的面積．
（2）若正方形EFGO饒點O逆時針轉動時，如圖2，兩個正方形重疊部分的面積是否發生變化？試說明理由．

Answer 1

解：（1）設OE交AB于M，OG交BC于N，
正方形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∵OE∥AD、OG∥AB，
∴∠OMB=90°，∠ONB=90°，
∴四邊形MONB是矩形，
∵正方形ABCD中，O為AC中點，AD=AB=2，OE∥AD，OG∥AB，
∴OM=AD=1，ON=AB=1，
∴四邊形MONB是正方形，
∴S_{四邊形MONB}=1．

（2）不變．
證明：∵正方形ABCD中，∠BOC=90°，
正方形EFGO中，∠EOG=90°，
∴∠1=∠2，
∵正方形ABCD中，∠3=∠4=45°，OB=OC，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S_△OBM=S_△OCN，∴S_□MONB=S_△OBC，
∵正方形ABCD邊長為2，
∴S_△OBC=1，
∴S_□MONB=1．
分析：（1）欲求圖中兩個正方形重疊部分的面積，先證明其為正方形且邊長為1，根據正方形性質易證；
（2）不管如何旋轉，其面積不變，根據三角形全等容易證出．
點評：此題考查全等三角形的判定和性質及正方形性質的綜合運用．