Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，AE=GF=GC．
（1）求證：四邊形AEFG是平行四邊形；
（2）當∠FGC=2∠EFB時，求證：四邊形AEFG是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明該四邊形是平行四邊形，只需證明AE∥FG．根據對邊對等角∠GFC=∠C，和等腰梯形的性質得到∠B=∠C．則∠B=∠GFC，得到AE∥FG．
（2）在平行四邊形的基礎上要證明是矩形，只需證明有一個角是直角．根據三角形FGC的內角和是180°，結合∠FGC=2∠EFB和∠GFC=∠C，得到∠BFE+∠GFC=90°．則∠EFG=90°．
解答：證明：（1）∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠B=∠C．
∵GF=GC，
∴∠C=∠GFC，
∴AB∥GF，即AE∥GF．
∵AE=GF，
∴四邊形AEFG是平行四邊形．

（2）∵∠FGC+∠GFC+∠C=180°，∠GFC=∠C，∠FGC=2∠EFB，
∴2∠GFC+2∠EFB=180°，
∴∠BFE+∠GFC=90°．
∴∠EFG=90°．
∵四邊形AEFG是平行四邊形，
∴四邊形AEFG是矩形．
點評：掌握平行四邊形和矩形的判定方法．