Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=16cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運動．設(shè)運動時間為t秒．
（1）用含t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由；
（3）當△OPQ∽△ABP時，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過B、P兩點，求拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，過線段BP上一動點M作y軸的平行線交拋物線于N，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)速度與時間的關(guān)系分別表示出CQ、OP、OQ的長度，然后利用三角形的面積公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面積減去△ABP與△BCQ的面積，根據(jù)面積公式分別列式進行整理即可得解；
（3）根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式=，然后代入數(shù)據(jù)求解即可得到t值，從而得到點P的坐標；
（4）先求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線解析式與拋物線解析式設(shè)出點M、N的坐標，再根據(jù)兩點間的距離表示出MN的長度，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．
解答：解：（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，
∴S_△OPQ=（8-t）×2t=-t²+8t（0＜t＜8）；

（2）∵S_{四邊形OPBQ}=S_矩形ABCD-S_△PAB-S_△CBQ，
=8×16-×8×（16-2t）-×16×t，
=128-64+8t-8t，
=64，
∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于64；

（3）當△OPQ∽△ABP時，=，
∴=，
解得：t₁=2，t₂=8（舍去），
此時P（4，0），
∵B（16，8），
∴，
解得，
∴拋物線解析式是y=x²-x+；

（4）設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線BP的解析式是：y=x-，
設(shè)M（m，m-）、N（m，m²-m+），
∵M在BP上運動，
∴4≤m≤16，
∴MN=m--（m²-m+）=-m²+5m-16，
∴當m=-=10時，MN有最大值是9．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，三角形的面積求解，不規(guī)則圖形的面積表示，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求直線解析式以及兩點間的距離公式，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強，準確利用動點表示出線段的長度是解題的關(guān)鍵．