Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，過點A作直線MN⊥AC，點P是直線MN上的一個動點(與點A不重合)，連結CP交AB于點D，設AP=，AD=．

1.如圖1，若點P在射線AM上，求y與x的函數解析式；

2.射線AM上是否存在一點P，使以點D、A、P組成的三角形與△ABC相似，若存在，求AP的長，若不存在，說明理由；

3.如圖2，過點B作BE⊥MN，垂足為E，以C為圓心、AC為半徑的⊙C與以P為圓心PD為半徑的動⊙P相切，求⊙P的半徑

 

Answer 1

 

1.

2.當AP的長為4.5時，△ABC∽△PAD

3.⊙E的半徑為16或.

解析:（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC ∴

∵AC=6，BC=8， ∴AB=10   ∵AP=，AD=    ∴  

∴

（2）假設射線AM上存在一點P，使以點D、A、P組成的三角形與△ABC相似

∵AM∥BC      ∴∠B=∠BAE

∵∠ACB=90°   ∠APD≠90°

∴△ABC∽△PAD

∴∴    解得：4.5

∴當AP的長為4.5時，△ABC∽△PAD

（3）∵⊙C與⊙P相切，AP=

①當點P在線段AD上，⊙C與⊙P外切時，PE=， PC=

在直角三角形PAC中，    

∴    解得：    ∴⊙P的半徑為.

②點P在射線MA上，當⊙C與⊙P內切時，PE=， EC=

在直角三角形PAC中，     

∴    解得：（舍去）∴⊙P的半徑為16.

③點P在射線AD上，當⊙C與⊙P外切時，PE=， PC=

在直角三角形PAC中，    

∴    解得： (舍去)

當⊙C與⊙P內切時，PE=， PC=

在直角三角形PAC中，    

∴    解得：(舍去)  

∴當⊙C與⊙P相切時，⊙E的半徑為16或.