Question

如圖，在某海濱城市O附近海面有一股臺風，據監測，當前臺風中心位于該城市的東偏南70°方向200千米的海面P處，并以20千米/時的速度向西偏北25°的PQ的方向移動，臺風侵襲范圍是一個圓形區域，當前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/時速度不斷擴張．
（1）當臺風中心移動4小時時，受臺風侵襲的圓形區域半徑增大到

 

千米；又臺風中心移動t小時時，受臺風侵襲的圓形區域半徑增大到

 

千米；
（2）當臺風中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風是否侵襲這座海濱城市？請說明理由（參考數據

2

≈1.41，

3

≈1.73）．

Answer 1

分析：（1）根據題意易求；
（2）實質就是將最近距離與區域半徑進行比較，所以需作垂線．作OH⊥PQ于點H，在Rt△OPH中，∠OPH=45°，OP=200，運用三角函數求出PH的長，從而求出時間再求半徑，比較后得結論．

解答：解：（1）60+10×4=100；（60+10t）；

（2）作OH⊥PQ于點H，∴∠OHP=90°，
∵∠OPH=70°-25°=45°，
在等腰直角三角形OPH中，OP=200千米，
根據勾股定理可算得OH=100

2

≈141（千米），
設經過t小時時，臺風中心從P移動到H，
則PH=20t=100

2

，算得t=5

2

（小時），
此時，受臺風侵襲地區的圓的半徑為：
60+10×5

2

≈130.5（千米）＜141（千米）．
∴城市O不會受到侵襲．

點評：此題的難度在于半徑的變化，理解半徑又是隨時間的變化而變化，所以轉化為求時間，又已知速度，歸結為求路程即三角形邊長，解三角形求解．