Question

如圖所示，拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3）．以AB為直徑作⊙M，過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，并與⊙M的切線AE相交于點E，連接DM并延長交⊙M于點N，連接AN、AD．
（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及拋物線的頂點坐標(biāo)；
（2）若四邊形EAMD的面積為4

3

，求直線PD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）拋物線上是否存在點P，使得四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而可用配方法求出其頂點坐標(biāo)；
（2）連接EM，過D作DF⊥x軸于F；由于ED、EA都是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理可得EA=ED，易證得△EAM≌△EDM則它們的面積相等，由此可得到S_△EAM=2

3

，即可求出EA的長，也就得到了E點的坐標(biāo)；在Rt△EAM中，根據(jù)EA、AM的值，即可求出∠EMA的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠DMF的度數(shù)，從而在Rt△DMF中，通過解直角三角形求出MF、DF的長，由此求得D點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式；（需注意的是AE的長為正值，但是E點的縱坐標(biāo)有正負(fù)兩種情況，所以要分類討論）
（3）在△DAN中，由于DN是⊙M的直徑，所以DM=MN，則△DAM和△MAN等底同高，所以面積相等，即△DAN的面積是△DAM的2倍；在（2）題中已經(jīng)求出四邊形EAMD的面積是△EAM的2倍，若四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，則△DAM、△EAM的面積相等，這兩個三角形共用底邊AM，所以它們的高相同，由此可證得PD與x軸平行，即PD的解析式為y=±2，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）因為拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，
設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²-2x-3，（2分）
又∵y=（x-1）²-4，
因此，拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4）；（3分）

（2）連接EM，∵EA、ED是⊙M的兩條切線，
∴EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MD，
∴△EAM≌△EDM（HL），
又∵四邊形EAMD的面積為4

3

，
∴S_△EAM=2

3

，
∴

1

2

AM•AE=2

3

，
又∵AM=2，
∴AE=2

3

，
因此，點E的坐標(biāo)為E₁（-1，2

3

）或E₂（-1，-2

3

），（5分）
當(dāng)E點在第二象限時，切點D在第一象限，
在直角三角形EAM中，tan∠EMA=

EA

AM

=

2 3

2

=

3

，
∴∠EMA=60°，
∴∠DMB=60°，
過切點D作DF⊥AB，垂足為點F，
∴MF=1，DF=

3

，
因此，切點D的坐標(biāo)為（2，

3

），（6分）
設(shè)直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
將E（-1，2

3

），D（2，

3

）的坐標(biāo)代入得

3 =2k+b 2 3 =-k+b

，
解之，得：

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
所以，直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

3

x+

5 3

3

，（7分）
當(dāng)E點在第三象限時，切點D在第四象限，
同理可求：切點D坐標(biāo)為（2，-

3

），
直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=

3

3

x-

5 3

3

，
因此，直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

3

x+

5 3

3

或y=

3

3

x-

5 3

3

；（8分）

（3）若四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，
又∵S_{四邊形EAMD}=2S_△EAM，S_△DAN=2S_△AMD，
∴S_△AMD=S_△EAM，
∴E、D兩點到x軸的距離相等，
∵PD與⊙M相切，
∴點D與點E在x軸同側(cè)，
∴切線PD與x軸平行，
此時切線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=2或y=-2，（9分）
當(dāng)y=2時，由y=x²-2x-3得，x=1±

6

；
當(dāng)y=-2時，由y=x²-2x-3得，x=1±

2

，（11分）
故滿足條件的點P的位置有4個，分別是P₁（1+

6

，2）、P₂（1-

6

，2）、P₃（1+

2

，-2）、P₄（1-

2

，-2）．（12分）
說明：本參考答案給出了一種解題方法，其它正確方法應(yīng)參考本標(biāo)準(zhǔn)給出相應(yīng)分?jǐn)?shù)．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、切線長定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等重要知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強，難度較大．