Question

【題目】在菱形中，，點是對角線上一動點，將線段繞點順時針旋轉到，連接，連接并延長，分別交、于點、．

（1）如圖1，若且，求菱形的面積；

（2）如圖2，求證：．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）連接，可得，進而得、、三點共線，點M是菱形的旋轉中心，可得，結合旋轉的性質可得，MQ=NQ，根據直角三角形的性質得，BM=4，進而即可求解；

（2）根據菱形的性質和旋轉的性質以及SAS，可證，在上取點，使，可證，再證，即可得到結論．

（1）連接，如圖1，

∵在菱形中，，

又∵，

∴、、三點共線，點M是菱形的旋轉中心，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵CM=CN，

∴，MQ=NQ，

∵，

∴，

∴，

∵∠MBC=∠ABC=30°，

∴BM=4，

∴菱形=32；

（2）四邊形是菱形，

∴，，，，

∴，

由旋轉的性質得：，，

∴，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

在上取點，使，如圖2，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴∠DHN=∠CQN，

∴，

∴，

∴．