Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．
（1）求證：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先延長CE交⊙O于點P，由垂徑定理可證得∠BCP=∠BDC，又由C是的中點，易證得∠BDC=∠CBD，繼而可證得CF=BF；
（2）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的長，繼而求得答案．
解答：（1）證明：延長CE交⊙O于點P，
∵CE⊥AB，
∴=，
∴∠BCP=∠BDC，
∵C是的中點，
∴CD=CB，
∴∠BDC=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCP，
∴CF=BF；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD=6，AC=8，
∴BC=6，
在Rt△ABC中，AB==10，
∴⊙O的半徑為5．
點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．