Question

（2004•朝陽區）已知拋物線y=ax²+（+3a）x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．是否存在實數a，使得△ABC為直角三角形？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：可根據拋物線的解析式表示出A、B、C的坐標，然后分別表示出AB、AC、BC的長，可根據∠BAC=90°，∠BCA=90°，∠ABC=90°三種不同情況用勾股定理求出a的值．
解答：解：依題意，得點C的坐標為（0，4），
設點A、B的坐標分別為（x₁，0），（x₂，0），
由ax²+（+3a）x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=-，
∴點A、B的坐標分別為（-3，0），（，0），
∴AB=|-+3|，AC==5，BC==，
∴AB²=|-+3|²=-+9，
AC²=25，BC²=+16．
（ⅰ）當AB²=AC²+BC²時，∠ACB=90°，
由AB²=AC²+BC²，
得-+9=25++16，
解得a=-，
∴當a=-時，點B的坐標為（，0），
AB²=，AC²=25，BC²=，
于是AB²=AC²+BC²，
∴當a=-時，△ABC為直角三角形．
（ⅱ）當AC²=AB²+BC²時，∠ABC=90°，
由AC²=AB²+BC²，
得25=-+9++16，
解得a=．
當a=時，-=-=-3，點B（-3，0）與點A重合，不合題意．
＜ⅲ＞當BC²=AC²+AB²時，∠BAC=90°，
由BC²=AC²+AB²，
得25+-+9=+16，
解得a=，
不合題意．
綜合＜ⅰ＞、＜ⅱ＞、＜ⅲ＞，當a=-時，△ABC為直角三角形．
點評：本題考查了二次函數的應用、直角三角形的判定和勾股定理等知識．