Question

某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為y=-+c且過頂點C（0，5）（長度單位：m）
（1）直接寫出c的值；
（2）現因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設一條寬度為1.5m的地毯，地毯的價格為20元/m²，求購買地毯需多少元？
（3）在拱橋加固維修時，搭建的“腳手架”為矩形EFGH（H、G分別在拋物線的左右側上），并鋪設斜面EG．已知矩形EFGH的周長為27.5m，求斜面EG的傾斜角∠GEF的度數．（精確到0.1°）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點在拋物線上易求得c；
（2）根據解析式求出A，B，C三點坐標，求出地毯的總長度，再根據地毯的價格求出購買地毯需要的錢；
（3）由已知矩形EFGH的周長，求出GF，EF邊的長度，再根據三角函數性質求出傾斜角∠GEF的度數．
解答：解：（1）拋物線的解析式為y=-+c，
∵點（0，5）在拋物線上
∴c=5；

（2）由（1）知，OC=5，
令y=0，即-+5=0，解得x₁=10，x₂=-10；
∴地毯的總長度為：AB+2OC=20+2×5=30，
∴30×1.5×20=900
答：購買地毯需要900元．

（3）可設G的坐標為（m，-+5）其中m＞0
則EF=2m，GF=-+5，
由已知得：2（EF+GF）=27.5，
即2（2m-+5）=27.5，
解得：m₁=5，m₂=35（不合題意，舍去），
把m₁=5代入，-+5=-×5²+5=3.75，
∴點G的坐標是（5，3.75），
∴EF=10，GF=3.75，
在Rt△EFG中，tan∠GEF===0.375，
∴∠GEF≈20.6°．
點評：此題考查二次函數和三角函數的性質及其應用，要結合圖形做題．