Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標為（1，0），將線段OM繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，再將其延長到M₁，使得M₁M⊥OM，得到線段OM₁；又將線段OM₁繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，再將其延長到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到線段OM₂，如此下去，得到線段OM₃，OM₄，…，則點M₁的坐標是    ，點M₅的坐標是    ；若把點M_n（x_n，y_n）（n是自然數）的橫坐標x_n，縱坐標y_n都取絕對值后得到的新坐標（|x_n|，|y_n|）稱之為點M_n的絕對坐標，則點M_8n+3的絕對坐標是    （用含n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】分析：由于線段OM繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，得M₁M⊥OM，所以△OMM₁是等腰直角三角形，而點M的坐標為（1，0），得到點M₁的坐標為（1，1），根據等腰直角三角形的性質得
OM₁=OM=，同理得到OM₂=×=2，OM₃=（）³=2，OM₄=（）⁴=4，則可確定點M₅的坐標，按此規律得到OM_8n+2=（）⁸ⁿ⁺²=2⁴ⁿ⁺¹，由于從M開始，每8個點循環的落在坐標軸和四個象限內，則可得到點M_8n+2與點M2的位置一樣，都在y軸的正半軸上，于是得到點M_8n+3的絕對坐標是（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
解答：解：∵點M的坐標為（1，0），線段OM繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，得M₁M⊥OM，
∴△OMM₁是等腰直角三角形，
∴OM₁=OM=，點M₁的坐標為（1，1），
同理可得OM₂=×=2，OM₃=（）³=2，OM₄=（）⁴=4，
∴點M₅的坐標是（-4，-4）；
∴OM_8n+2=（）⁸ⁿ⁺²=2⁴ⁿ⁺¹，
∵點M_8n+2在y軸的正半軸上，
∴點M_8n+3的絕對坐標是（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
故答案為（1，1）；（-4，-4）；（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
點評：本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：在直角坐標系中利用旋轉的性質求出相應的線段長，再根據各象限點的坐標特征確定點的坐標．也考查了規律型問題的解決方法和等腰直角三角形的判定與性質．