Question

已知點A(1，c)和點B (3，d )是直線y＝k₁x＋b與雙曲線y＝（k₂＞0）的交
點．
（1）過點A作AM⊥x軸，垂足為M，連結BM．若AM＝BM，求點B的坐標；
（2）設點P在線段AB上，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，并交雙曲線y＝（k₂＞0）于點N．當  取最大值時，若PN＝ ，求此時雙曲線的解析式．

Answer 1

（1）(3，)（2）y＝

（1）解：∵點A(1，c)和點B (3，d )在雙曲線y＝（k₂＞0）上，

∴ c＝k₂＝3d 。
∵ k₂＞0， ∴ c＞0，d＞0。
∴A(1，c)和點B (3，d )都在第一象限。
∴ AM＝3d。
過點B作BT⊥AM，垂足為T。
∴ BT＝2，TM＝d。
∵ AM＝BM，∴ BM＝3d。
在Rt△BTM中，TM ²＋BT²＝BM²，即 d²＋4＝9d²，∴ d＝。
∴點B(3，)。
（2）∵ 點A(1，c)、B(3，d)是直線y＝k₁x＋b與雙曲線y＝（k₂＞0）的交點，

∴c＝k_2,，3d＝k₂，c＝k₁＋b，d＝3k₁＋b。
∴k₁＝－k₂，b＝k₂。
∵ A(1，c)和點B (3，d )都在第一象限，
∴ 點P在第一象限。設P（x，k₁x＋b），
∴＝ ＝x²＋x＝－x²＋x。
＝
∵當x＝1，3時，＝1，又∵當x＝2時， 的最大值是。
∴1≤≤.。∴ PE≥NE。
∴＝－1＝。
∴當x＝2時，的最大值是。
由題意，此時PN＝，∴ NE＝。∴ 點N(2，) 。 ∴ k₂＝3。
∴此時雙曲線的解析式為y＝。
（1）過點B作BT⊥AM，由點A（1，c）和點B（3，d）都在雙曲線y＝（k₂＞0）上，得到c=3d，則A點坐標為（1，3d），在Rt△BTM中應用勾股定理即可計算出d的值，即可確定B點坐標。
（2）P（x，k₁x＋b），求出關于x的二次函數，應用二次函數的最值即可求得的最大值，此時根據PN＝求得NE＝，從而得到N(2，)，代入y＝即可求得k₂＝3。因此求得反比例函數的解析式為y＝