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【題目】如圖1所示,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為直角邊,A為直角頂點,在AD左側作等腰直角三角形ADF,連接CF,AB=AC,∠BAC=90°.

(1)當點D在線段BC上時(不與點B重合),線段CF和BD的數量關系與位置關系分別是什么?請給予證明.
(2)當點D在線段BC的延長線上時,(1)的結論是否仍然成立?請在圖2中畫出相應的圖形,并說明理由.

【答案】
(1)

解:CF=BD,且CF⊥BD,證明如下:

∵∠FAD=∠CAB=90°,

∴∠FAC=∠DAB.

在△ACF和△ABD中, ,

∴△ACF≌△ABD

∴CF=BD,∠FCA=∠DBA,

∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°,

∴FC⊥CB,

故CF=BD,且CF⊥BD


(2)

解:(1)的結論仍然成立,如圖2,∵∠CAB=∠DAF=90°,

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,

即∠CAF=∠BAD,

在△ACF和△ABD中,

∴△ACF≌△ABD(SAS),

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,

∴CF⊥BD;

∴CF=BD,且CF⊥BD.


【解析】(1)根據同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD,然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等,根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD,全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠BCF=90°,從而得到CF⊥BD;(2)先求出∠CAF=∠BAD,然后與①的思路相同求解即可;
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形,需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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【題目】已知下列命題: ①若 >1,則a>b;
②若a+b=0,則|a|=|b|;
③等邊三角形的三個內角都相等;
④底角相等的兩個等腰三角形全等.
其中原命題與逆命題均為真命題的個數是(
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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1)請在圖中畫出ABCB點順時針旋轉90°后的圖形ABC′.

2)請直接寫出以A、BC為頂點平行四邊形的第4個頂點D的坐標.

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(探究)如圖(b),將三角尺繞著點O順時針旋轉,當∠AONCON,試判斷OM是否平分∠BOC,并說明理由.

(拓展)若∠AOC=80°三角尺OMNO點順時針旋轉一周,每秒旋轉5°,則多少秒后MOCMOB?

(延伸)在上述條件下,如圖(c),旋轉三角尺使ON在∠BOC內部,另一邊OM在直線AB的另一側,下面兩個結論:①∠NOCBOM的值不變;②∠NOCBOM的值不變.選擇其中一個正確的結論說明理由.

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(2)將條形圖補充完整,并計算扇形統計圖中書法部分的圓心角的度數;

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根據圖中提供的信息回答下列問題:

(1)小明家到學校的路程是_______米,小明在書店停留了______分鐘.

(2)本次上學途中,小明一共行駛了______米;騎車速度最快是_______米/分.

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