Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁+x₂=4，．
（1）分別求出A，B兩點的坐標；
（2）求此拋物線的函數解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為C，過作直線l與拋物線交于另一點D（點D在x軸上方），連接AC，CB，BD，DA，當四邊形ACBD的面積為4時，求點D的坐標和直線l的函數解析式．

Answer 1

解：（1）由x₁+x₂=4，，
得，x₁=1，x₂=3，
∴A（1，0），B（3，0）．

（2）把A（1，0），B（3，0）的坐標代入y=-x²+bx+c，
得，，
解得，b=4，c=-3．
∴所求拋物線的函數解析式為y=-x²+4x-3．

（3）由題意，設點D的坐標為（f，h），
∵y=-x²+4x-3，
∴點C的坐標為（0，-3），
S_△ADB+S_△ABC=4，
即×2h+×2×3=4，
∴h=1，
∴-f²+4f-3=1，
解得，f₁=f₂=2，
∴D（2，1）．
設l的解析式為y=kx+m，
則，
∴．
∴l的函數解析式為y=2x-3．
分析：（1）由已知條件可求出x₁，x₂的值，A、B的坐標可求．
（2）把A，B的坐標代入二次函數的解析式中，得到關于b，c的方程組，解即可．
（3）此題所給的已知條件有問題．
點評：本題利用了解方程組，以及解一元二次方程等知識．