Question

如圖，已知二次函數的圖象與軸相交于兩個不同的點、，與軸的交點為．設的外接圓的圓心為點．

（1）求與軸的另一個交點D的坐標；

（2）如果恰好為的直徑，且的面積等于，求和的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（0，1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）令x=0，代入拋物線解析式，即求得點C的坐標．由求根公式求得點A、B的橫坐標，得到點A、B的橫坐標的和與積，由相交弦定理求得OD的值，從而得到點D的坐標．

（2）當AB又恰好為⊙P的直徑，由垂徑定理知，點C與點D關于x軸對稱，故得到點C的坐標及k的值．根據一元二次方程的根與系數的關系式表示出AB線段的長，由三角形的面積公式表示出△ABC的面積，可求得m的值．

（1）易求得點的坐標為

由題設可知是方程即 的兩根，

所以，

所

∵⊙P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，設它們的交點為點O，連結DB，

∴△AOC∽△DOC，則

由題意知點在軸的負半軸上，從而點D在軸的正半軸上，

所以點D的坐標為（0，1）；

（2）因為AB⊥CD， AB又恰好為⊙P的直徑，則C、D關于點O對稱，

所以點的坐標為，即

又，

所以解得

考點：一元二次方程的求根公式，根與系數的關系，相交弦定理，垂徑定理，三角形的面積公式

點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，是中考常見題，如何表示OD及AB的長是本題中解題的關鍵．