Question

如圖，已知△ABC，以BC為直徑，O為圓心的半圓交AC于點F，點E為弧CF的中點，連接BE交AC于點M，AD為△ABC的角平分線，且AD⊥BE，垂足為點H．
（1）判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CE，推出AD∥CE，得出∠ECM=∠DAC=∠DAB=∠EBC，根據∠AHB=90°推出∠DAB+⊙ABE=90°．代入推出∠ABE+∠EBC=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出AC長，求出AM=AB=3，求出CM=2，證△ECM∽△EBC，得出比例式，推出BE=2EC，在△BEC中，根據勾股定理即可求出BE．
解答：解：（1）直線AB與⊙O的位置關系是相切，
理由是：連接CE，
∵BC為直徑，
∴∠BEC=90°，
∵AD⊥BE，
∴AD∥EC，
∴∠ACE=∠CAD，
∵弧EF=弧CE，
∴∠FCE=∠CBE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
即∠ABC=90°，
又∵AB經過直徑的外端，
∴AB是圓O的切線．  
         
（2）∵AB=3，BC=4．由（1）知，△ABC是直角三角形，由勾股定理得：AC=5．
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2，
∵∠E=∠E，∠ECM=∠EBC，
∴△CME∽△BCE，
∴==，
∴EB=2EC，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE²+CE²=BC²=16，
∴BE=．
點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的性質和判定，勾股定理，等腰三角形的性質和判定，圓周角定理等知識的應用，主要考查相似綜合運用性質進行推理的能力，題目比較典型，綜合性比較強，有一定的難度．