Question

已知二次函數y=ax²+bx+c．
（1）若a=2，c=-3，且二次函數的圖象經過點（-1，-2），求b的值；
（2）若a=2，b+c=-2，b＞c，且二次函數的圖象經過點（p，-2），求證：b≥0；
（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函數的圖象經過點（q，-a），試問當自變量x=q+4時，二次函數y=ax²+bx+c所對應的函數值y是否大于0？請證明你的結論．

Answer 1

分析：①本題待定系數法求二次函數解析式，條件由具體到抽象，要根據題目的條件逐步求解；
②（2）（3）還需結合一元二次方程根的判別式，根與系數的關系等知識解題．

解答：解：（1）當a=2，c=-3時，二次函數為y=2x²+bx-3，
因為該函數的圖象經過點（-1，-2），
所以-2=2×（-1）²+b×（-1）-3，解得b=1；

（2）當a=2，b+c=-2時，二次函數為y=2x²+bx-b-2，
因為該函數的圖象經過點（p，-2），
所以-2=2p²+bp-b-2，即2p²+bp-b=0，
于是，p為方程2x²+bx-b=0的根，
所以△=b²+8b=b（b+8）≥0．
又因為b+c=-2，b＞c，
所以b＞-b-2，即b＞-1，有b+8＞0，所以b≥0；

（3）因為二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點（q，-a），
所以aq²+bq+c+a=0．所以q為方程aq²+bq+c+a=0的根，
于是，△=b²-4a（a+c）≥0，
又a+b+c=0，所以△=b（3a-c）≥0，
又a＞b＞c，知a＞0，c＜0，所以3a-c＞0，所以b≥0，
所以q為方程aq²+bq+c+a=0的根，所以q=

-b- b2+4ab

2a

或q=

-b+ b2+4ab

2a

．
當x=q+4時，y=a（q+4）²+b（q+4）+c=（aq²+bq+c+a）+8aq+15a+4b=8aq+15a+4b，
若q=

-b- b2+4ab

2a

，則y=8a•

-b- b2+4ab

2a

+15a+4b=15a-4

b2+4ab

．
因為a＞b≥0，所以b²+4ab＜a²+4a•a=5a²，
即

b2+4ab

＜

5

a，-4

b2+4ab

＞-4

5

a，
∴y＞15a-4

5

a=（15-4

5

）a＞0；
若q=

-b+ b2+4ab

2a

，則y=8a•

-b+ b2+4ab

2a

+15a+4b=15a+4

b2+4ab

＞0．
所以當x=q+4時，二次函數y=ax²+bx+c所對應的函數值大于0．

點評：本題考查了用待定系數法求函數解析式的待定系數或者系數之間的關系，同時還考查了方程組的解法等知識，綜合性強，難度大．