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(1)如圖①,⊙O的弦CE垂直于直徑AB,垂足為點G,點D在
CB
上,作直線CD,ED,與直線AB分別交于點F,M,連接OC,求證:OC2=OM•OF;
(2)把(1)中的“點D在
CB
上”改為“點D在
AE
上”,其余條件不變(如圖②),精英家教網(wǎng)試問:(1)中的結論是否成立?并說明理由.
分析:(1)如圖①,連接CM,OE.易得AF是EC的中垂線,有MC=ME,有∠CMA=∠EMA.∠AOC=
1
2
∠COE,由圓周角定理知,∠AOC=∠CDE.由三角形的外角與內(nèi)角的關系和等量代換求得∠OCM=∠F,故有△OMC∽△OCF,得到
OC
OF
=
OM
OC
,即OC2=OM•OF.
(2)如圖②,連接MC,OE.易得AF是EC的中垂線,有MC=ME,∠EMG=∠CMO.由三角形的外角與內(nèi)角的關系和等量代換求得∠FCO=∠CMO,故有△OCF∽△OMC.得
OC
OM
=
OF
OC
,即OC2=OM•OF.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:如圖①,連接CM,OE,
∵AB⊥CE于G,∴GC=GE.
∴MC=ME,∴∠CMA=∠EMA.
∠AOC=
1
2
∠COE,∴∠AOC=∠CDE.
又∠OCM=∠AOC-∠CMA,
∠F=∠CDE-∠DMF,
∠DMF=∠EMA,
∴∠OCM=∠F.
又∠COM=∠FOC,∴△OMC∽△OCF.
OC
OF
=
OM
OC

∴OC2=OM•OF.

(2)解:成立.理由如下:
如圖②,連接MC,OE,
∵AB⊥CE于G,
∴GC=GE,
BC
=
BE
=
1
2
CBE

∴∠CDE=∠COB,MC=ME.
∴∠EMG=∠CMO.
∵∠FCO=∠COB-∠OFC,∠EMG=∠CDE-∠DFM,∠DFM=∠OFC,
∴∠EMG=∠FCO.
∴∠FCO=∠CMO.
∴△OCF∽△OMC.
OC
OM
=
OF
OC

∴OC2=OM•OF.
點評:本題利用了垂徑定理,三角形的外角與內(nèi)角的關系,中垂線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)求解.
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3
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,b=
 
,c=
 

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