Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，點E為CD邊的中點，連接AE并延長與BC的延長線交于點F，過點E作EM⊥AF交BC于點M，連接AM與BD交于點N，現有下列結論：①AM＝MF；②ME2＝MCAM；③＝（sin∠DAE）2；④點N是四邊形ABME的外接圓的圓心，其中正確結論的序號是_____．

Answer 1

【答案】①②．

【解析】

①正確．利用全等三角形的性質證明AE＝EF即可解決問題．

②正確．證明△MEC∽△MFE即可解決問題．

③錯誤．證明△ADE∽△ECM，可得＝（）2＝（）2＝（tan∠DAE）2．

④錯誤．說明點N不是線段AM的中點，即可判斷．

解：∵四邊形ABC都是正方形，

∴AD∥BF，

∴∠DAE＝∠F，

∵∠AED＝∠FEC，DE＝EC，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴AE＝EF，

∵ME⊥AF，

∴MA＝NF，故①正確，

∵∠EMC＝∠EMF，∠ECM＝∠MEF，

∴△MEC∽△MFE，

∴ME：MF＝MC：ME，

∴ME2＝MCMF＝MCAM，故②正確，

∵∠AEM＝90°，∠ADE＝∠ECM＝90°，

∴∠AED+∠MEC＝90°，∠MEC+∠EMC＝90°，

∴∠AED＝∠EMC，

∴△ADE∽△ECM，

∴＝（）2＝（）2＝（tan∠DAE）2，故③錯誤，

∵∠ABM＝∠AEM＝90°，

∴A，B，M，E四點共圓，

∴四邊形的外接圓的圓心是線段AM的中點，顯然點N不是AM的中點，故④錯誤．

故答案為①②．