Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．點E在線段BA上從B點以每秒1個單位的速度出發向A點運動，F是射線CD上一動點，在點E、F運動的過程中始終保持EF＝5，且CF>BE，點P是EF的中點，連接AP．設點E運動時間為ts．

（1）在點E、F運動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當AP的長度取得最小值時，點P的位置應該在 ．

（2）當AP⊥EF時，求出此時t的值

（3）以P為圓心作⊙P，當⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時，求出此時t的值，并指出此時⊙P的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）AD的中點；（2）t=（s）；（3），；，

【解析】

（1）在點E、F運動的過程中始終保持EF＝5，且CF>BE，故EF在運動過程中始終保持平行移動，因為點P是EF的中點，則點P始終在過EF的中點且平行于AB的直線上運動，運動軌跡為一條線段，在運動過程中，根據垂線段最短可得P為AD的中點時，AP的長度最小；
（2）首先過點E作EG⊥CD于點G，易證得△APE∽△EGF，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AE的長，繼而求得答案；
（3）分兩種情況考慮：當⊙P在矩形ABCD內分別與AB、AD、CD相切于點Q、R、N時，連接PQ，PR，PN，如圖3所示，可得出四邊形AQPR和四邊形RPND為兩個全等的正方形，其邊長為大正方形邊長的一半，在直角三角形PQE中，由PE與PQ的長，利用勾股定理求出EQ的長，進而由BA+AQ-EQ求出BE的長，即為t的值，并求出此時⊙P的半徑；當⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點Q、R、N時，如圖4所示，同理求出BE的長，即為t的值，并求出此時⊙P的半徑．

（1）在點E、F運動的過程中始終保持EF＝5，且CF>BE，故EF在運動過程中始終保持平行移動，因為點P是EF的中點，則點P始終在過EF的中點且平行于AB的直線上運動，運動軌跡為一條線段，如圖所示：根據垂線段最短可得P為AD的中點時，AP的長度最小；

故答案為：AD的中點；

（2）過點E作EG⊥CD于點G，如圖2
則四邊形BCGE是矩形，
∴EG=BC=3，AB∥CD，

∴FG=，∠AEP=∠EFG

∵AP⊥EF，
∴∠APE=∠EGF=90°，
∴△APE∽△EGF，

∴

∴

∴AE=

∴BE=6-

∴t=（s）

（3）如圖3，當⊙P在矩形ABCD內分別與AB、AD、CD相切于點Q、R、N時，
連接PQ、PR、PN，則PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，

則四邊形AQPR與四邊形RPND為兩個全等的正方形，
∴PQ=AQ=AR=DR=AD=，
在Rt△PQE中，EP=，由勾股定理可得：EQ=2，
∴BE=BA-EQ-AQ=6-2-=，
∴t=，此時⊙P的半徑為；
如圖4，當⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點Q、R、N時，

類比圖3可得，EQ=2，AQ=，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+-2=，
∴t=，此時⊙P的半徑為．