Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AC是⊙O直徑，D是的中點，過點D作CB的垂線，分別交CB、CA延長線于點F、E．

(1)判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)若sinE＝，求AB：EF的值．

Answer 1

【答案】(1)直線EF與圓O相切，理由見解析；(2)AB：EF=5：9.

【解析】

(1)先判斷出∠CBA為直角，再判斷出∠F為直角，進而得出AB與EF平行，再由D為的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出結論；

(2)根據角E的正弦值，設出OD＝OC＝OB＝OA＝5x，則得出CA＝10x，CE＝13x，進而得出CE＝18x，最后判斷出△ABC∽△ECF即可得出結論．

(1)直線EF與圓O相切，理由為：

連接OD，如圖所示：

∵AC為圓O的直徑，

∴∠CBA＝90°，

又∵∠F＝90°，

∴∠CBA＝∠F＝90°，

∴AB∥EF，

∴∠AMO＝∠EDO，

又∵D為的中點，

∴，

∴OD⊥AB，

∴∠AMO＝90°，

∴∠EDO＝90°，

∵EF過半徑OD的外端，

則EF為圓O的切線；

(2)在Rt△ODE中，sinE＝，

設OD＝OC＝OA＝5x，

∴CA＝10x，OE＝13x，

∴CE＝18x，

∵EF∥AB，

∴△ABC∽△ECF，

∴.