Question

如圖，有一塊三角形土地，它的底邊BC長為100米，高AH長為80米．某單位要沿著邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、AC上，E、F在BC邊上，AH與DG交于點M．設大樓的一邊DE長為x米．
（1）求DG的長（用含x的代數式表示）；
（2）當DE=DG時，求x的值；
（3）若矩形DEFG的面積為1 600平方米，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）兩三角形相似，對應高之比等于相似比．利用此性質即可解答．
（2）利用正方形的性質代入x求解即可；
（3）利用DG×DE=1600進而得出DE的長即可．

解答：解：（1）∵DG∥BC
∴△ADG∽△ABC
它們的對應高線比等于對應線段的比，
即

AM

AH

=

DG

BC

設DG=ym，DE=xm，那么AM=80-x，
∴

80-x

80

=

y

100

，
∴y=-

5

4

x+100；

（2）當DE=DG時即x=y時，
x=-

5

4

x+100，
解得：x=

400

9

∴DE=

400

9

，DG=

400

9

，
∴正方形DEFG的面積為

160000

81

m²．

（3）∵矩形DEFG的面積為1 600平方米，
即xy=1600，
故x（-

5

4

x+100）=1600，
解得：x₁=40+8

5

，x₂=40-8

5

，
答：矩形DEFG的面積為1 600平方米，DE的長為40±8

5

m．

點評：此題主要考查了相似三角形的應用以及一元二次方程的解法等知識，利用相似三角形的判定與性質得出是解題關鍵．