Question

（2005•綿陽）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AB=2，AD=1.6，CD=3．
（1）求BD，BC的長；
（2）畫出△BCD的外接圓（不寫畫法，保留作圖痕跡），并指出AD是否為該圓的切線；
（3）計算tanC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AD∥BC可知∠ADB=∠DBC又∠ABD=∠C，易證△ABD∽△DCB，繼而求出BD，BC的長
（2）要求tanC的值，須作直角三角形，因此過D作DE⊥BC于E，求出DE、CE長即可
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
而∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴，
∴，
∴BD=2.4，BC=3.6．

（2）△BCD的外接圓如右圖所示，AD不是其外接圓的切線．

（3）方法一：
過D作DE⊥BC于E．
設CE=x，則BE=3.6-x．
根據勾股定理，得BD²-BE²=DE²=CD²-CE²，
即2.4²-（3.6-x）²=DE²=3²-x²，
解得x=，DE=．
∴在Rt△CDE中，有tanC=．

方法二：
過D作DF∥AB交BC于F，則ABFD是平行四邊形，
所以DF=2，CF=BC-BF=3.6-1.6=2，
∴△CDF是等腰三角形．
過F作FG⊥CD于G，則FG²=CF²-（CD）²=，FG=，
∴在Rt△CFG中，有tanC=．
點評：考查相似三角形的判定和性質、勾股定理性質及三角函數定義的理解及運用．