Question

12、已知兩個自然數的積與和之差恰等于它們的最大公約數與最小公倍數之和，求這樣的自然數．

Answer 1

分析：此題設這兩個正整數為ma，na（其中m，n，a都是正整數，且m，n互質），然后根據題意可得ma•na-（ma+na）=mna+a，再變形為a=（m+1）（n+1）/（mn），既而假設（1）當m，n其中一個為1時和當m，n都不等于1時兩種情況進行分析論證得出答案．

解答：解：設這兩個正整數為ma，na（其中m，n，a都是正整數，且m，n互質），
所以ma•na-（ma+na）=mna+a，
所以mna=mn+1+m+n，
所以a=（m+1）（n+1）/（mn），
（1）當m，n其中一個為1時，不妨設m=1，所以a=2（n+1）/n，
因為n不等于1（否則兩個數相等，不合），所以n不能被（n+1）整除，所以n能被2整除，
所以n=2，此時這兩個數為6和3；
（2）當m，n都不等于1時，因為m不能被（m+1）整除，n不能被（n+1）整除，
所以n被（m+1）整除，m被（n+1）整除，
所以設m+1=pn，n+1=qm，（p，q為正整數），
所以m+1=p（qm-1），
所以m=（p+1）/（pq-1），
當q≥4時，原式沒有正整數解，
所以當q=1時，p=2或3，此時兩個數為6和4或6和3；
當q=2時，p=1，此時兩個數為6和4；
當q=3時，p=1，此時兩個數為6和3．
故答案是：這樣的自然數是6和3或6和4．

點評：此題主要考查了學生對最大公約數與最小公倍數之和的理解和掌握．要求學生能正確運用其解答問題．此題較難，是好題．