Question

（2013•德惠市二模）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，AD=3，DB=4，將圖1中△ADE繞點D順時針旋轉90°可以得到圖2，則圖1中△ADE和△BDF面積之和為

6

．

Answer 1

分析：由題意易證得四邊形DECF是正方形，則可證得△AED∽△DFB，設DE=CE=CF=DF=x，由相似三角形的對應邊成比例，可得BF=

4

3

x，然后由勾股定理求得x的值，即可求得△BDF的面積，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方，△ADE的面積，繼而求得答案．

解答：解：如圖1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形DECF是矩形，
由旋轉的性質可得：DE=DF，
∴四邊形DECF是正方形，
∴AC∥DF，DE∥BC，
∴∠A=∠FDB，∠EDA=∠B，
∴△AED∽△DFB，
∴

DE

BF

=

AD

BD

，
設DE=CE=CF=DF=x，
∴

x

BF

=

3

4

，
∴BF=

4

3

x，
在Rt△BDF中，BD²=DF²+BF²，
∴4²=x²+（

4

3

x）²，
解得：x=

12

5

，
∴DF=

12

5

，BF=

16

5

，
∴S_△BDF=

1

2

DF•BF=

1

2

×

12

5

×

16

5

=

96

25

，
∵S_△BDF：S_△DAE=（

BD

AD

）²=

16

9

，
∴S_△ADE=

54

25

，
∴S_△ADE+S_△BDF=

54

25

+

96

25

=6．
故答案為：6．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．