Question

已知：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，把它放在直角坐標系中，使AD邊在y軸上，點C的坐標為（2

3

，8）
（1）畫出符合題目條件的菱形與直角坐標系．
（2）寫出A，B兩點的坐標．
（3）設菱形ABCD的對角線的交點為P，問：在y軸上是否存在一點F，使得點P與點F關于菱形ABCD的某條邊所在的直線對稱，如果存在，寫出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可分兩種情況，如圖；
（2）過C作CF⊥y軸于F，∠CDF=60°，CF=2

3

，因此DF=2，CD=4．因此OA=OF-AF=8-（4+2）=2，因此A點坐標為（0，2）．由于菱形的邊長為4，因此將C點坐標向下平移4個單位就是B點的坐標（2

3

，4）；
（3）在（2）中所作的F點其實就是P點關于CD的對稱點，理由：根據菱形的性質可知：∠FAC=30°，因此在直角三角形FAC中，FC=

1

2

AC=PC，而∠DCF=∠DCP=30°，因此△CFE≌△CPE，因此CD垂直平分PF，即可得出P、F關于CD對稱．

解答：解：本題有兩種情況：
第一種情況：（1）畫圖，如圖所示．

（2）過C作CF⊥y軸于F，∠CDF=60°，CF=2

3

，
∵tan60°=

FC

DF

=

3

，

2 3

DF

=

3

，
∴DF=2，
CD=4．因此OA=OF-AF=8-（4+2）=2，因此A點坐標為（0，2）．
由于菱形的邊長為4，因此將C點坐標向下平移4個單位就是B點的坐標（2

3

，4）；
則A（0，2），B（2

3

，4）．
（3）F（0，8）；

第二種情況：（1）畫圖，如圖所示．

（2）A′（0，14），B′（2

3

，12）
（3）F′（0，8）．

點評：本題主要考查了菱形的性質、坐標與圖形的性質、軸對稱圖形等知識點．