Question

如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結論：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=

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AD．其中正確的有（　　）

• A、①②
• B、①②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF，根據全等三角形的性質，易證得CE⊥DF與AH⊥DF，根據垂直平分線的性質，即可證得AG=AD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG=

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AD，根據等腰三角形的性質，即可得∠CHG=∠DAG．則問題得解．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，
∵點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，故①正確；
在Rt△CGD中，H是CD邊的中點，
∴HG=

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CD=

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AD，故④正確；
連接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG=HD=

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CD，
∴DK=GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG=AD，故②正確；
∴∠DAG=2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH=∠CDF，
∵GH=DH，
∴∠HDG=∠HGD，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，
∴∠CHG=∠DAG．故③正確．
故選D．

點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質以及垂直平分線的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．