Question

某商場經營一批進價為2元的小商品，在市場營銷中發現此商品的日銷售價x（元）與日銷售量y（件）之間有如下關系：

x	3	5	9	11
y	18	14	6	2

（1）根據上表在直角坐標系中描出相應的點，觀察點的分布，求出y與x之間的關系式；
（2）寫出日銷售利潤P（元）與日銷售價x（元）之間的關系，并寫出x的取值范圍；
（3）日銷售利潤有無最大值，如果有，請指出當售價為多少元時，獲得的利潤最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點的坐標把點在平面直角坐標系中描出來，得出點在一條直線上，設直線的解析式是y=kx+b，把（3，18），（9，6）代入得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）根據題意得出p=yx-2y，把y的解析式代入即可求出答案；
（3）把p的解析式化成頂點式，根據a的值和頂點坐標，即可求出最大值．
解答：解：（1）根據圖上點的位置，點在一條直線上，設直線的解析式是y=kx+b，
把（3，18），（9，6）代入得：，
解得：k=-2，b=24，
∴y與x的函數解析式是y=-2x+24；

（2）p=yx-2y
=（-2x+24）x-2（-2x+24）
=-2x²+28x-48，
∵y=-2x+24≥0，
∴x≤12，
∵x≥2，
∴x的取值范圍是2≤x≤12．
答：日銷售利潤P（元）與日銷售價x（元）之間的關系是p=-2x²+28x-48，x的取值范圍是 2≤x≤12；

（3）p=-2x²+28x-48=-2（x²-14x+49）+98-48=-2（x-7）²+50，
∵-2＜0，開口向下，
∴有最大值，當x=7時，最大值是50．
答：日銷售利潤有最大值，當售價為7元時，獲得的利潤最大．
點評：本題考查了一次函數的應用、圖象，二次函數的最值和應用等知識點的綜合運用，主要考查學生的分析問題的能力，同時也培養了學生的觀察能力，用的數學思想是轉化思想和數形結合思想，題型較好，有一點難度．