Question

已知，如圖二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點C（0，4）與x軸交于點A、B，點B（4，0），拋物線的對稱軸為x=1．直線AD交拋物線于點D（2，m），
（1）求二次函數的解析式并寫出D點坐標；
（2）點Q是線段AB上的一動點，過點Q作QE∥AD交BD于E，連結DQ，當△DQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）拋物線與y軸交于點C，直線AD與y軸交于點F，點M為拋物線對稱軸上的動點，點N在x軸上，當四邊形CMNF周長取最小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標．

Answer 1

（1）點D的坐標為（2，4）．
（2）當t=1時，S_△DQE有最大值，所以此時Q點的坐標為（1，0）；
（3）滿足條件的點N的坐標為N（，0），點M的坐標為M（1，1）．

試題分析：（1）根據點C（0，4），點B（4，0），拋物線的對稱軸為x=1可得關于a，b，c的方程組，解方程求得a，b，c的值，從而得到二次函數的解析式，再將點D（2，m）代入二次函數的解析式，得到關于m的方程，求得m的值，從而求解；
（2）先求得A，B點的坐標，過點E作EG⊥QB，根據相似三角形的判定和性質可得EG= ，由于S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ，配方后即可得到S_△DQE有最大值時Q點的坐標；
（3）根據待定系數法得到直線AD的解析式為：y=x+2，過點F作關于x軸的對稱點F′，即F′（0，-2），再連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點C，D是關于對稱軸x=1對稱，則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，得到四邊形CFNM的最短周長為：2+2時直線DF′的解析式為：y=3x-2，長而得到滿足條件的點M和點N的坐標．
（1）由題意有：，
解得：．
所以，二次函數的解析式為：y=-x²+x+4，
∵點D（2，m）在拋物線上，即m=-×2²+2+4=4，
所以點D的坐標為（2，4）．
（2）令y=0，即-x²+x+4=0，解得：x₁=4，x₂=-2，
∴A，B點的坐標分別是（-2，0），（4，0），
如圖1，過點E作EG⊥QB，垂足為G，設Q點坐標為（t，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ與△BDA相似，
∴ ，即，
∴EG=，
∴S_△BEQ=×（4-t）×，
∴S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ
=×（4-t）×4-S_△BEQ
=2（4-t）-（4-t）²
=-t²+t+
=-（t-1）²+3，
∴當t=1時，S_△DQE有最大值，所以此時Q點的坐標為（1，0）；

（3）由A（-2，0），D（2，4），可求得直線AD的解析式為：y=x+2，即點F的坐標為：F（0，2），
如圖2，過點F作關于x軸的對稱點F′，即F′（0，-2），再連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點C，D是關于對稱軸x=1對稱,
則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，
則四邊形CFNM的周長=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,
即四邊形CFNM的最短周長為：2+2．
此時直線DF′的解析式為：y=3x-2，
所以存在點N的坐標為N（，0），點M的坐標為M（1，1）．