Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+1與x軸交于兩點A（﹣1，0），B（1，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點B作BD∥CA拋物線交于點D，求四邊形ACBD的面積；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，過M作MN⊥x軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+1；（2）4；（3）M （，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．

【解析】

（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值；

（2）先求出直線AC的解析式，由于BD∥AC，那么直線BD的斜率與直線AC的相同，可據此求出直線BD的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出D點的坐標；由圖知四邊形ACBD的面積是△ABC和△ABD的面積和，由此可求得其面積；

（3）易知OA＝OB＝OC＝1，那么△ACB是等腰直角三角形，由于AC∥BD，則∠CBD＝90°；根據B、C的坐標可求出BC、BD的長，進而可求出它們的比例關系；若以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似，那么兩個直角三角形的對應直角邊應該成立，可據此求出△AMN兩條直角邊的比例關系，連接拋物線的解析式即可求出M點的坐標．

解：（1）依題意，得：，解得；

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+1；

（2）易知A（﹣1，0），C（0，1），則直線AC的解析式為：y＝x+1；

由于AC∥BD，可設直線BD的解析式為y＝x+h，則有：1+h＝0，h＝﹣1；

∴直線BD的解析式為y＝x﹣1；聯立拋物線的解析式得：

，解得，；

∴D（﹣2，﹣3）；

∴S四邊形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝×2×1+×2×3＝4；

（3）∵OA＝OB＝OC＝1，

∴△ABC是等腰Rt△；

∵AC∥BD，

∴∠CBD＝90°；

易求得BC＝，BD＝3；

∴BC：BD＝1：3；

由于∠CBD＝∠MNA＝90°，若以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似，則有：

△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：

或；

即MN＝AN或MN＝3AN；

設M點的坐標為（x，﹣x2+1），

①當x＞1時，AN＝x﹣（﹣1）＝x+1，MN＝x2﹣1；

∴x2﹣1＝（x+1）或x2﹣1＝3（x+1），

解得x＝，x＝﹣1（舍去）或x＝4，x＝﹣1（舍去）；

∴M點的坐標為：M（，﹣）或（4，﹣15）；

②當x＜﹣1時，AN＝﹣1﹣x，MN＝x2﹣1；

∴x2﹣1＝（﹣x﹣1）或x2﹣1＝3（﹣x﹣1），

解得x＝，x＝﹣1（兩個都不合題意，舍去）或x＝﹣2，x＝﹣1（舍去）；

∴M（﹣2，﹣3）；

故存在符合條件的M點，且坐標為：M（，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．