Question

（2011•利川市一模）如圖，ABCD和BEFG都是正方形，A、B、E三點在同一直線上，連接AC、EC、AG，延長AG交EC于H．
（1）求證：△ABG≌△CBE；
（2）探索直線AH與EC的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由ABCD與BEFG都是正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS即可得證；
（2）直線AH與EC的位置關系是垂直，理由為：由全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由一對對頂角相等得到三角形CGH與三角形ABG相似，由相似三角形的對應角相等得到∠ABG=∠GCH，而∠ABG為直角，故∠GHC為直角，利用垂直的定義即可得證．

解答：（1）證明：∵ABCD與BEFG都是正方形，
∴AB=BC，BE=BG，∠ABG=∠CBE=90°，
∵在△ABG和△CBE中，

AB=BC ∠ABG=∠CBE BG=BE

，
∴△ABG≌△CBE（SAS）；

（2）AH⊥EC，理由為：
證明：∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠BAE，
又∠CGH=∠AGB，
∴△AGB∽△CBH，
∴∠GHC=∠AGB=90°，
∴AH⊥EC．

點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握正方形的性質是解本題的關鍵．