Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=2，OC=3．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點D（2，2）是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BDP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
注：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x=-．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據OC=3，可知c=3，于是得到拋物線的解析式為y=-x²+bx+3，然后將A（-2，0）代入解析式即可求出b的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）由于BD為定值，則△BDP的周長最小，即BP+DP最小，由于點A和點B關于對稱軸對稱，則即BP+DP=AP+DP，當A、P、D共線時BP+DP=AP+DP最小．
解答：解：（1）∵OA=2，OC=3，
∴A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，
將A（-2，0）代入y=-x²+bx+3得，-×（-2）²-2b+3=0，
解得b=，
可得函數解析式為y=-x²+x+3；

（2）如圖：連接AD，與對稱軸相交于P，由于點A和點B關于對稱軸對稱，則即BP+DP=AP+DP，當A、P、D共線時BP+DP=AP+DP最小．
設AD的解析式為y=kx+b，
將A（-2，0），D（2，2）分別代入解析式得，，
解得，，故直線解析式為y=x+1，（-2＜x＜2），
由于二次函數的對稱軸為x=-=，
則當x=時，y=×+1=，
故P（，）．
點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式和軸對稱---最短路徑問題，先假設存在P，若能解出P的坐標，則P存在；否則，P不存在．