Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點在直線y=x上，且這個頂點到原點的距離為

2

，又知拋物線與x軸兩交點橫坐標之積等于-1，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：根據頂點在直線y=x上且頂點到原點的距離為

2

，求出頂點坐標，列出頂點式，然后化為一般式，即可根據拋物線與x軸兩交點橫坐標之積等于-1求出a的值．

解答：解：如圖（1）
∵OC=

2

，
又∵點C在y=x上，
∴OD=DC=1，
∴C點坐標為（-1，-1）．
設二次函數解析式為y=a（x+1）²-1，
整理得y=ax²+2ax+a-1，
∵拋物線與x軸兩交點橫坐標之積等于-1，
∴

a-1

a

=-1，
∴a=

1

2

．
∴二次函數解析式為y=

1

2

（x+1）²-1．

如圖（2）
∵OC=

2

，
又∵點C在y=x上，
∴OD=DC=1，
∴C點坐標為（1，1）．
設二次函數解析式為y=a（x-1）²+1，
整理得y=ax²-2ax+a+1，
∵拋物線與x軸兩交點橫坐標之積等于-1，
∴

a+1

a

=-1，
∴a=-

1

2

．
∴二次函數解析式為y=-

1

2

（x-1）²+1．

點評：此題考查了用待定系數法求函數解析式，根據一次函數求出拋物線的頂點坐標，再利用頂點式和根與系數的關系解答是解題的關鍵．