Question

如圖，平面直角坐標系中點A坐標為（2，-4），以A為頂點的拋物線經過坐標原點交x軸于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）取線段AB上一點D，以BD為直徑作⊙C交x軸于點 E，作EF⊥AO于點F，求證：EF是⊙C的切線；
（3）設⊙C的半徑為r，EF=m，求m與r的函數關系式及自變量r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結合已知條件可以知道拋物線經過A（2，-4），O（0，0），代入解析式，即可求出拋物線的解析式；
（2）連接CE，只要求證CE∥AO，結合已知推出EF⊥CE，即可求證出結論；
（3）作AH⊥OB于H點，結合勾股定理和拋物線的性質求出個線段的長度，根據平行線的性質，寫出比例式，求出半徑CB的長度

解答：（1）解：設y=a（x-2）²-4，把O（0，0）代入，得4a-4=0，
∴a=1，
∴y=（x-2）²-4=y=x²-4x；

（2）證明：連接CE，
∴CE=CB
∴∠CEB=∠CBE
∵拋物線有對稱性
∴AO=AB
∴∠AOB=∠OBA
∴∠AOB=∠CEB
∴CE∥AO
∵EF⊥AO
∴EF⊥CE
∴EF是⊙C的切線（5分）

（3）解：

作AH⊥OB于H

，∴OH=HB=2，AH=4，AO=AB=2

5

，
∴

EC

OA

=

BE

OB

，即

r

2 5

=

BE

4

∴BE=

2 5

5

r，
由題意可知：OH=2，AH=4，根據勾股定理得：OA=2

5

，
∴sin∠AOH=

2 5

5

，
∵OB=4，BE=

2 5

5

r，
∴OE=4-

2 5

5

r，
∴sin∠AOH=

EF

OE

，即m=EF=OE•sin∠AOH=

8 5

5

-

4

5

r．
∴EF=

8 5

5

-

4

5

r（10分）．
∵點D在線段AB上，A（2，-4），B（4，0），
∴AB=

(2-4)2+(-4)2

=2

5

，
∴0＜r＜

5

．

點評：本題主要考查拋物線的確定、拋物線的性質、勾股定理、平行線的性質、等腰三角形的性質、切線定理性質，本題關鍵在于確定好輔助線，綜合運用有關性質定理解決實際問題．