Question

己知：如圖1，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（O，-4），與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的函數解析式；
（2）點P（t，O）是線段AB上一動點（不與A、B重合），過P點作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△CPE的面積S與t的函數關系式，并指出t的取值范圍；
（3）如圖2，若平行于x軸的動直線r與該拋物線交于點Q，與直線AC交于F，點D的坐標為（2，0）．問是否存在這樣的直線r，使得△0DF為等腰三角形？若存在，請求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，
解得
∴該拋物線的函數解析式為y=0.5x²-x-4；

（2）過點E作EG⊥x軸于G，
由0.5x²-x-4=0，
得x₁=-2，x₂=4．
AB=6，BP=2+t，
證△BPE∽△BAC，可得EG=（t+2），
S=S_△CPB-S_△BPE=BP•CO-BP•EG=（t+2）（4-（t+2））=-t²+t+
-2＜t＜4．

（3）這樣的Q點存在，使得△ODF為等腰三角形．
①當OF=DF時，Q（x．-3）
0.5x²-x-4=-3，x=1，
∴，
②當OD=DF=2時，Q（x，-2）
0.5x²-x-4=-2，x=1±，
∴，．
分析：（!）A，C兩點的坐標代入解析式即可．
（2）通過相似表示出E點坐標，利用面積的差求△PEC面積．
（3）△ODF為等腰三角形，沒有確底邊，要分類討論，由線段相等求出Q點坐標，然后代入拋物線的解析式求解．
點評：①點在圖象上則它的坐標滿足解析式，②沒有邊在坐標軸上的三角形求面積要轉化．③利用幾何圖形分類．