Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一動點，過C作B點處切線的垂線，垂足為D，則下列結論中正確的有

①③④⑤

．
①BC²=AB•CD；②sin∠ABC=cos∠BCD；③tan∠ABC=

BD

CD

；④AC＞BD；⑤

AB

AC

=

BC

BD

．

Answer 1

分析：由BD為圓O的切線，得到AB與BD垂直，得到一對角互余，再由CD垂直于BD得到直角三角形BCD中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到∠ABC=∠BCD，進而得到sin∠ABC=sin∠BCD≠cos∠BCD，選項②錯誤；利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ABC與三角形CBD相似，由相似得比例，變形后得到①與⑤正確；在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠BCD，即為tan∠ABC，得到選項③正確；C在運動過程中，由斜邊大于直角邊得到AC大于BD，故選項④正確．

解答：解：∵BD為圓O的切線，
∴∠ABD=90°，即∠ABC+∠CBD=90°，
∵CD⊥BD，∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

BC

=

BC

CD

=

AC

CD

，即BC²=AB•CD，故選項①正確；
∴sin∠ABC=sin∠BCD≠cos∠BCD，選項②錯誤；
由tan∠ABC=tan∠BCD=

BD

CD

，選項③正確；
而無論C如何移動均有AC＞BC，選項④正確；
由相似關系得

AB

AC

=

BC

BD

，故選項⑤正確．
故答案為：①③④⑤

點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．