Question

（2007•鄂爾多斯）如圖，拋物線y=-x²+2nx+n²-9（n為常數）經過坐標原點和x軸上另一點C，頂點在第一象限．
（1）確定拋物線所對應的函數關系式，并寫出頂點坐標；
（2）在四邊形OABC內有一矩形MNPQ，點M，N分別在OA，BC上，A點坐標為（2，8）B點坐標為（4，8），點Q，P在x軸上．當MN為多少時，矩形MNPQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線過原點及頂點在第一象限的特點可求出n的值，進而求出其解析式．
（2）根據（1）中拋物線的解析式可求出C點的坐標，作AH⊥x軸于H．設M點的坐標為（x，y），根據△OMQ∽△OAH可求出y與x的函數關系式，由拋物線的對稱性可知QP的長，根據矩形的面積公式可列出S與x之間的函數關系式，根據函數圖象的頂點坐標可求出其最大值．
解答：解：（1）∵拋物線過（0，0）點．
∴n²-9=0（1分）
∴n=±3，（2分）
∵頂點在第一象限，
∴-=n＞0且==n²＞0（不寫不扣分），
∴n=3（3分）
∴拋物線y=-x²+6x（4分）
頂點坐標為（3，9）．（5分）

（2）如圖所示，作AH⊥x軸于H．
設M點的坐標為（x，y）
∴△OMQ∽△OAH，
∴=（7分）
∴=，
∴y=4x（8分）
由拋物線的對稱性可知：QP=MN=6-2x．（9分）
∴S_MNPQ=4x（6-2x）=-8x²+24x（10分）
∴當x=-=-=時，（11分）MN=6-×2=3時，S_MNPQ最大=-8×+24×=18，
答：MN等于3時，矩形MNPQ的最大面積是18．（12分）
點評：此題考查的是二次函數的性質以及相似三角形的判定與性質，有一定的綜合性，但難度不大．