Question

已知：如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）

1.求該拋物線的解析式；

2.點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE//AC，交BC于點E，連接CQ，設△CQE的面積為S，Q(m，0)，試求S與m之間的函數關系式（寫出自變量m的取值范圍）；

3.在（2）的條件下，當△CQE的面積最大時，求點E的坐標.

4.若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為(2，0). 問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

 

1.

 2.設點Q坐標為，過點作EG⊥x軸于G，由得，

    ∴點B的坐標為，點A的坐標為

∴AB=6   BQ=m＋2  ∵QE//AC ∴△BQE∽△BAC    又△BEG∽△BCO

∴   即    ∴

∴

   

即

3.由（2）知

又    ∴當時  S最大

此時   BQ=QA    又QE//CA

∴BE=EC   ∴點E為BC的中點，∴

4.存在，在△ODF中

①若DO=DF   ∵A(4,0) D(2,0)  ∴AD=OD=DF=2

又在Rt△AOC中，OA=OC=4  ∴∠OAC=45°∴∠DFA=∠OAC=45°

∴∠ADF=90°，此時，點F的坐標為（2, 2）

由得  ，此時點P的坐標為：

或

②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，由等腰三角形的性質得

   ∴AM=3   ∴在等腰直角△AMF中

MF=AM=3   ∴F(1,3)   由

得     此時，點P的坐標為或

③若OD=OF ∵OA=OC=4   且∠AOC=90°  ∴AC=4

∴點O到AC的距離為，而OF=OD=2∠，此時，不存在這樣的直線l，

使得△ODF是等腰三角形

     綜上，存在滿足條件的點或或或

解析:

1.根據A，C兩點坐標，利用待定系數法求二次函數解析式即可；

2.根據△ABC與△ABM的面積相等，得出M的縱坐標為：±4，進而得出x的值即可；

3.利用相似三角形的性質得出S_△CQE=x×4-x²=-x²+2x，進而求出即可；

4.利用圖象以及等腰三角形的性質假設若DO=DF時以及當FO=FD和當DF=OD時分別得出F點的坐標，將縱坐標代入二次函數解析式即可求出P點坐標．