Question

已知如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點E自A點出發，以每秒1cm的速度向D點前進，同時點F從D點以每秒2cm的速度向C點前進，若移動的時間為t，且0≤t≤6．
（1）當t為多少時，DE=2DF；
（2）四邊形DEBF的面積是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由．
（3）以點D、E、F為頂點的三角形能否與△BCD相似？若能，請求出所有可能的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據DE=AD-t=6-t，DF=2t，即可求解；
（2）由四邊形DEBF的面積=矩形的面積-S_△ABE-S_△BCF即可證明；
（3）假設以點D、E、F為頂點的三角形能與△BCD相似，那么根據=或=，即可求出t的值；
解答：解：（1）由題意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t=，
故當t=時，DE=2DF；

（2）∵矩形ABCD的面積為：12×6=72，S_△ABE=×12×t=6t，
S_△BCF=×6×（12-2t）=36-6t，
∴四邊形DEBF的面積=矩形的面積-S_△ABE-S_△BCF=72-6t-36+6t
=36，故四邊形DEBF的面積為定值；

（3）設以點D、E、F為頂點的三角形能與△BCD相似，則=或=，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t=，
故當t=時，以點D、E、F為頂點的三角形與△BCD相似．
點評：本題考查了相似三角形的性質及三角形的面積，難度適中，關鍵是掌握用分類討論的思想進行求解．