Question

20、如圖，已知△ABC為等邊三角形，M為三角形外任意一點．
（1）請你借助旋轉知識說明AM≤BM+CM；
（2）線段AM是否存在最大值？若存在，請指出存在的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）應把AM和BM所在的三角形旋轉，與AM組成三角形，將△BMC繞B點逆時針方向旋轉，使C點與A點重合，得△BM′A，易得△BMM′為正三角形，根據三角形三邊關系即可證明．
（2）由（1）得線段AM存在最大值，M′在AM上時．

解答：解：（1）將△BMC繞B點逆時針方向旋轉，使C點與A點重合，得△BM′A，（1分）
∵∠MBM′=60°，BM=BM′，AM′=MC．
∴△BMM′為正三角形．
∴MM′=BM．（2分）
①若M′在AM上，
則AM=AM′+MM′=BM+MC，（3分）
②若M′不在AM上，連接AM′、MM′，
在△AMM′中，根據三角形三邊關系可知：
AM＜AM′+MM′，
∴AM＜BM+MC．（5分）

（2）線段AM有最大值．（6分）
當且僅當M′在AM上時，AM=BM+MC；
存在的條件是：∠BMC=120°．（8分）

點評：求三邊關系，那么這三邊應在一個三角形中，可通過旋轉得到．