Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知矩形AOBC，AO=2，BO=3，函數y=

k

x

的圖象經過點C．
（1）直接寫出點C的坐標；
（2）將矩形AOBC分別沿直線AC，BC翻折，所得到的矩形分別與函數y=

k

x

（x＞0）交于點E，F求線段EF．
（3）若點P、Q分別在函數y=

k

x

圖象的兩個分支上，請直接寫出線段P、Q兩點的最短距離（不需證明）；并利用圖象，求當

k

x

≤x時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據OA=2，OC=3即可直接得出C點坐標；
（2）先把點C（0，4）代入反比例函數y=

k

x

的解析式，故可得出EF兩點的坐標，根據兩點間的距離公式即可求出EF的長；
（3）當P與Q的橫縱坐標絕對值相等時，PQ的距離最小，令y=x，代入反比例解析式中求出x的值，即為y的值，確定出P與Q的坐標，即可求出OP與OQ的長，由OP+OQ即可求出P、Q最短距離PQ的長；先根據y=x時得出x的值，再根據函數圖象的增減性進行解答即可．

解答：解：（1）∵四邊形AOBC是矩形，OA=2，OC=3
∵C（3，2）；

（2）∵點C（3，2）在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴2=

k

3

，即k=6，
∴此反比例函數的解析式為y=

6

x

，
∵AD=OA=2，BG=OC=3，
∴D（0，4），G（6，0），
當y=4時，4=

6

x

，解得x=

3

2

，
∴E（

3

2

，4）
把x=6代入y=

6

x

得y=1，
∴F（6，1），
∴EF=

( 3 2 -6)2+(4-1)2

=

3 13

2

；

（3）當P與Q的橫縱坐標絕對值相等時，PQ的距離最小，
∴將y=x代入y=

6

x

得x²=6，
解得：x=±

6

，
∴P（

6

，

6

），Q（-

6

，-

6

），
∴此時PQ的距離最短，最短距離PQ=

(2 6 )2+(2 6 )2

=4

3

，即PQ最小值為4

3

．
∵由x=

6

x

時，x₁=

6

，x₂=-

6

，
∵根據圖象，當x≥

6

時，y隨著x的增大而減小；
當-

6

≤x＜0時，y隨著x的增大而小．
∴當

6

x

≤x時，x的取值范圍為：x≥

6

或-

6

≤x＜0．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，熟知反比例函數及矩形的性質是解答此題的關鍵．