Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm，現有兩個動點P，Q分別從點A和點B同時出發，其中點P以1cm／s的速度沿AC向終點C運動；點Q以1.25cm／s的速度沿BC向終點C運動，兩點到達終點后停止運動。過點P作PE∥BC交AD于點E，連結EQ，設動點運動的時間為ts(t>0)。

(1) 連結DP，經過1s后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？ 請說明理由；

(2) 當t為何值時，△EDQ為直角三角形?

(3) 如圖②，設點M是EQ的中點，在點P、Q的整個運動過程中，試探究點M的運動路徑長度是多少？

Answer 1

【答案】（1）能.四邊形EQDP是平行四邊形. (2)當t為2.5或3.1時，△EDQ為直角三角形(3)點M的運動路徑長度是cm

【解析】試題分析：（1）如圖1，當t=1時，AP=1，BQ=1.25，QD=0.75．由PE∥DC，得到EP=0.75，從而有EP=QD，再由EP∥QD，即可得到結論；

（2）分∠EQP=90°，∠QED=90°兩種情況，通過三角形相似，列出比例關系，求出t的值即可；

（3）作AB的中點M，DC的中點M′，連接MM′，則M運動的路徑就是線段MM′．過M作MG⊥BC于G．可以證明MG是△ABC的中位線，得到MG=2，BG=GC=2.5．再由M′是DC的中點，得到M′C=1.5，進而得到GM′=2.5－1.5=1，在Rt△MGM′中，由勾股定理即可得出MM′的長．

試題解析：解：（1）能．理由如下：

如圖1，當t=1時，AP=1，BQ=1.25，QD=2-1.25=0.75．∵PE∥DC，∴ ，∴，∴EP=0.75，∴EP=QD．∵EP∥QD，∴四邊形EQDP是平行四邊形．

（2）分兩種情況討論：

①如圖3，當∠EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4﹣t．又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC，

∴.∵BC=5厘米，CD=3厘米，∴BD=2厘米，∴DQ=1.25t﹣2，∴ ，解得t=2.5（秒）；

②如圖4，當∠QED=90°時，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，則四邊形EMCP是矩形，EM=PC=4﹣t．在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，∴AD==5，∴CN==.∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴，∴，解得t=3.1（秒）．

綜上所述：當t=2.5秒或t=3.1秒時，△EDQ為直角三角形．

（3）作AB的中點M，DC的中點M′，連接MM′，則M運動的路徑就是線段MM′．過M作MG⊥BC于G．∵M是AB的中點，∴G是BC的中點，∴MG是△ABC的中位線，∴MG=AC=2，BG=GC=2.5．∵M′是DC的中點，∴M′C=DC=1.5，∴GM′=2.5－1.5=1，∴MM′===（cm）．