Question

如圖，在平面直角坐標系中，有點A（1，6）、點B （6，1）、點C（1，1）三點．
（1）若點A在函數y=（x＞0）的圖象上．
①求m的值及直線AB的解析式；
②求三角形OAB的面積；
③在y軸是否存在一點P使△OCP為等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
④如果一個點的橫、縱坐標均為整數，那么我們稱這個點是格點．請直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的坐標．
（2）若函數y=（x＞0）的圖象與△ABC有公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①將A（1，6）代入反比例解析式得：6=，即m=6；
設直線AB解析式為y=kx+b，
將A（1，6），B（6，1）代入得：，
解得：，
則直線AB的解析式為y=-x+7；
②連接OA，OB，由題意得：AD=OE=6，OD=BE=1，DE=OE-OD=5，
則S_△OAB=S_△AOD+S_梯形ADEB-S_△BEO
=×1×6+×5×（1+6）-×1×6
=；
③如圖所示，
當OP₁=P₁C=1時，△OP₁C為等腰三角形，此時P₁（0，1）；
當CP₂=OC=時，△OP₂C為等腰三角形，此時P₂（0，2）；
當OP₃=OC=時，△OP₃C為等腰三角形，此時P₃（0，）；
當OP₄=OC=時，△OP₄C為等腰三角形，此時P₄（0，-）；
綜上，P的坐標為（0，1）或（0，2）或（0，）或（0，-）；
④根據圖形得：格點坐標（2，4），（3，3），（4，2）；
（2）當雙曲線經過點C（1，1）時，m=1；
當雙曲線經過AB中點（，）時，m=，
則函數y=（x＞0）的圖象與△ABC有公共點時m的取值范圍是1≤m≤．
分析：（1）①把點A （1，6）代入函數y=（x＞0）求出m的值；設直線AB解析式為y=kx+b，將A與B代入求出k與b的值，即可確定出直線AB的解析式；
②連接OA，OB，三角形AOB面積=三角形AOD面積+梯形ADEB面積-三角形OBE面積，求出即可；
③如圖所示，分四種情況考慮：當OP₁=P₁C=1時，△OP₁C為等腰三角形；當CP₂=OC=時，△OP₂C為等腰三角形；當OP₃=OC=時，△OP₃C為等腰三角形；當OP₄=OC=時，△OP₄C為等腰三角形，分別求出對應P的坐標即可；
④由圖象找出滿足題意的格點坐標即可；
（2）抓住兩個關鍵點，一是反比例函數圖象過AB中點時，一是反比例函數圖象過C點時，分別求出對應m的值，即可確定出滿足題意m的范圍．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，等腰三角形的性質，反比例函數的圖象與性質，待定系數法求函數解析式，利用了分類討論及數形結合的思想，是一道中檔題．