Question

（2008•北京）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的長．

Answer 1

【答案】分析：要求DC的長，根據已知條件可將它轉化為直角三角形的邊，由勾股定理即可求得．
解答：解：解法一：
如圖1，分別過點A，D
作AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F．（1分）
∴AE∥DF．
又AD∥BC，
∴四邊形AEFD是矩形．
∴EF=AD=．（2分）
∵AB⊥AC，∠B=45°，BC=4，
∴AB=AC．
∴AE=EC=BC=2．
∴DF=AE=2，CF=EC-EF=（4分）
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DC=．（5分）

解法二：
如圖2，過點D作DF∥AB，分別交AC，BC于點E，F．（1分）
∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°-∠B-∠BAC=45度．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，
∴AC=BC•sin45°=4=4（2分）
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=，
∴DE=AE=1．
∴CE=AC-AE=3．（4分）
在Rt△DEC中，∠CED=90°，
∴DC=．（5分）
點評：統觀北京及全國各地中考試卷，幾何中的計算往往會與兩個知識點有關：①圓；②梯形．本題考點：等腰直角三角形的性質、特殊四邊形的性質、勾股定理．