Question

如圖，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點E，與AD交于點F(E，F不與頂點重合)，設AD＝a，AB＝b，BE＝x．

(Ⅰ)求證：AF＝EC；

(Ⅱ)用剪刀將紙片沿直線EF剪開后，再將紙片ABEF沿AB對稱翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長線上，拼接后，下方的梯形記作E′C，連結B．

(1)當直線EE′經過原矩形的頂點A時，求出所對應的x∶a的值；

(2)當直線EE′經過原矩形的頂點D時，請你說明當a與b滿足什么關系時，B⊥EF．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：∵AD＝a，AB＝b，BE＝x，S梯形ABEF＝S梯形CDFE． 　　∴b(x＋AF)＝b(EC＋a－AF)， 　　∴2AF＝EC＋(a－x)． 　　又∵EC＝a－x， 　　∴2AF＝2E即AF＝EC；　　2分 　　(Ⅱ)解：(1)當直線E經過原矩形的頂點D時，如圖(一)，　　3分 　　∵EC∥， 　　∴＝． 　　由EC＝a－x，＝EB＝x， 　　D＝DC＋C＝2b， 　　得， 　　∴x∶a＝；　　5分 　　∴B∥EF．　　5分 　　(2)如圖(二)，當直線E經過原矩形的頂點A時，設直線EF與B交于點G． 　　過點作M⊥BC于M，則四邊形是矩形． 　　 　　在和中， 　　　≌ 　　 　　，即　　7分 　　∴EM＝BC＝． 　　若B與EF垂直，則有∠GBE＋∠BEG＝90°， 　　又∵∠BEG＝∠FEC＝∠2，∠2＋∠ME＝90°，　∴∠GBE＝∠ME． 　　在Rt△BME′中，tan∠BM＝tan∠GBE＝＝． 　　在Rt△EME′中，tan∠ME＝＝， 　　∴　又∵a＞0，b＞0， 　　　　8分 　　注：與本答案不同的正確解法，請參照給分．