Question

已知：拋物線y=x²+（b-1）x+c經過點P（-1，-2b）．
（1）求b+c的值；
（2）若b=3，求這條拋物線的頂點坐標；
（3）若b＞3，過點P作直線PA⊥y軸，交y軸于點A，交拋物線于另一點B，且BP=2PA，求這條拋物線所對應的二次函數關系式．（提示：請畫示意圖思考）

Answer 1

（1）依題意得：（-1）²+（b-1）（-1）+c=-2b，
∴b+c=-2．

（2）當b=3時，c=-5，
∴y=x²+2x-5=（x+1）²-6，
∴拋物線的頂點坐標是（-1，-6）．

（3）當b＞3時，拋物線對稱軸x=-

b-1

2

＜-1
∴對稱軸在點P的左側
因為拋物線是軸對稱圖形，P（-1，-2b）且BP=2PA
∴B（-3，-2b）
∴-

b-1

2

=-2，
∴b=5
又∵b+c=-2，
∴c=-7
∴拋物線所對應的二次函數關系式為y=x²+4x-7．
解法2：當b＞3時，-b＜-3，1-b＜-2，則x=-

b-1

2

=

1-b

2

＜-1，
∴對稱軸在點P的左側，因為拋物線是軸對稱圖形
∵P（-1，-2b），且BP=2PA，
∴B（-3，-2b）
∴（-3）²-3（b-1）+c=-2b
又∵b+c=-2，
解得b=5，c=-7
這條拋物對應的二次函數關系式為y=x²+4x-7．
解法3：（3）∵b+c=-2，
∴c=-b-2
∴y=x²+（b-1）x-b-2
BP∥x軸，
∴x²+（b-1）x-b-2=-2b
即x²+（b-1）x+b-2=0
解得：x₁=-1，x₂=-（b-2），即x_B=-（b-2）
由BP=2PA，
∴-1+（b-2）=2×1
∴b=5，c=-7
∴拋物線所對應的二次函數關系式為y=x²+4x-7．