Question

“數形結合”是一種極其重要的思想方法．例如，我們可以利用數軸解分式不等式

1

x

＜1（x≠0）．先考慮不等式的臨界情況：方程

1

x

=1的解為x=1．如圖，數軸上表示0和1的點將數軸“分割”成x＜0、0＜x＜1和x＞1三部分（0和1不算在內），依次考察三部分的數可得：當x＜0和x＞1時，

1

x

＜1成立．理解上述方法后，嘗試運用“數形結合”的方法解決下列問題：
（1）分式不等式

1

x

＞1的解集是

0＜x＜1

；
（2）求一元二次不等式x²-x＜0的解集；
（3）求絕對值不等式|x+1|＞5的解集．

Answer 1

分析：（1）利用已知中當x＜0和x＞1時，

1

x

＜1成立，即可得出分式不等式

1

x

＞1的解集；
（2）利用方程的解以及數軸得出即可；
（3）利用絕對值的性質和方程的解以及數軸得出即可．

解答：解：（1）由題意可得出：0＜x＜1．
故答案為：0＜x＜1．

（2）解方程x²-x=0，得x=0和x=1，
畫數軸得出：
，
∴x²-x＜0的解集為：0＜x＜1；

（3）不等式|x+1|＞5的解為：x=4或x=-6，
畫數軸得：
，
∴|x+1|＞5的解集是：x＞4和x＜-6．

點評：此題主要考查了一元一次不等式的應用以及利用圖象得出不等式的解集，根據數形結合得出是解題關鍵．